符号学习简介

符号学习简介・非经典逻辑与近似推理

近似推理

近似推理

近似推理

近似推理

近似推理

近似推理

近似推理

近似推理

泛代数

格

布尔代数

泛代数同态

真值指派

近似推理 vs 经典逻辑

近似推理 vs 经典逻辑

用于近似推理的非经典逻辑

符号学习简介・非经典逻辑与近似推理

多值逻辑

Łukasiewicz 的三值系统 \(L_3\)

Łukasiewicz 的三值系统 \(L_3\)

第一列为 \(p\) 的真值，第一行为 \(q\) 的真值：

Łukasiewicz 的三值系统 \(L_3\)

第一列为 \(p\) 的真值，第一行为 \(q\) 的真值：

Łukasiewicz 的三值系统 \(L_3\)

第一列为 \(p\) 的真值，第一行为 \(q\) 的真值：

Łukasiewicz 的三值系统 \(L_3\)

1. 是二值布尔逻辑的直接扩充
2. MP 规则成立、de Morgan 律成立

3. 连接词的语义：

   • \(p\vee q=(p\rightarrow q)\rightarrow q\)
   • 实质蕴涵
   \begin{equation*} p\rightarrow q=\begin{cases} \neg p\vee q, & (p,q)\neq(I,I)\\ T,&(p,q)=(I,I) \end{cases} \end{equation*}

\(L_3\) 中的模态词

• 必然 \(\Box\)：

  \(p\)	\(\Box p\)
  T	T
  I	F
  F	F

• 或然 \(\Diamond\)：

  \(p\)	\(\Diamond p\)
  T	T
  I	T
  F	F

\(L_3\) 中的定理

多值逻辑中的定理

Kleene 的三值系统 \(K_3\)

仅蕴涵算子与 \(L_3\) 不同：

\(K_3\) 中的准重言式

\(K_3\) 中有 \(p\vee q=\neg p\rightarrow q\) 以及 \(p\rightarrow q=\neg p\vee q\)，因此 \(K_3\) 可看作仅含有连接词 \(\neg\) 与 \(\rightarrow\)。

Łukasiewicz 的 \(n\) 值系统 \(L_n\)

将赋值格由 \(\{T,I,F\}\) 推广为含有 \(n\) 个元素的线性序集： \[L=\{0,\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_{n-2},1\},\] 其中 \(0\) 表示假，\(1\) 表示真，且 \[\alpha_o=0<\alpha_1<\ldots<\alpha{}_{n-2}<\alpha_{n-1}=1\] 一般定义它们为 \([0,1]\) 区间的 \(n\) 等分点，这时有：

• \(\neg\alpha=1-\alpha\)
• \(\alpha\wedge\beta=\min\{\alpha, \beta\}\)
• \(\alpha \vee \beta=\max\{\alpha, \beta\}\)
• \(\alpha \rightarrow\beta=\min{\neg\alpha+\beta,1}\)

\(L_n\) 的子代数

\(L_n\) 是 \((\neg, \vee,\rightarrow)\) 型代数，设 \(M\) 是 \(L_n\) 的非空子集，如果 \(M\) 关于运算 \((\neg, \vee,\rightarrow)\) 封闭，则称 \(M\) 是 \(L_n\) 的子代数。

\(L_n\) 的子代数

如果 \(L_n\) 不是 \(L_m\) 的子代数，则重言式之间没有已上关系。比如令 \(m=4,n=3\)：

• \(A=((p\rightarrow\neg p)\wedge(\neg p\rightarrow p))\rightarrow (\neg p\vee p)\),
• \(B=\neg p\vee((p\rightarrow \neg p)\rightarrow(\neg p\rightarrow p))\)

多值逻辑上的重言式

其它赋值格上的算子

一般而言，\(\alpha,\beta\in[0,1]\) 时：

• \(\neg\alpha=1-\alpha\)
• \(\alpha\vee \beta=\max\{\alpha,\beta\}\)
• \(\alpha\wedge\beta=\min\{\alpha,\beta\}\)
• 但是在多值逻辑赋值格上对蕴涵 \(\alpha\rightarrow\beta\) 的定义则多种多样

赋值格上的蕴涵算子

多值逻辑系统赋值格上各家对 \(\alpha\rightarrow\beta\) 的定义：

Dubois-Prade 条件

直觉上，多值逻辑中蕴涵算子应当满足的 10 个条件：

1. \(\alpha\leq\gamma\) 时， \(\alpha\rightarrow\beta\geq \gamma\rightarrow\beta\)
2. \(\beta\leq\gamma\) 时， \(\alpha\rightarrow\beta\leq \alpha\rightarrow\gamma\)
3. \(0\rightarrow \beta=1\)
4. \(1\rightarrow\beta=\beta\)
5. \(\alpha\rightarrow\beta\geq\beta\)
6. \(\alpha\rightarrow\alpha=1\)
7. \(\alpha\rightarrow(\beta\rightarrow\gamma)=\beta\rightarrow(\alpha\rightarrow\gamma)\)
8. \(\alpha\rightarrow\beta=1\) 当且仅当 \(\alpha\leq \beta\)
9. \(\alpha\rightarrow\beta=\neg\beta\rightarrow\neg\alpha\)
10. \(\alpha\rightarrow\beta\) 关于 \(\alpha,\beta\) 连续

符号学习简介・非经典逻辑与近似推理

模糊逻辑（Fuzzy Logic）

模糊推理的基本思想

模糊推理的基本思想

模糊推理的基本思想

模糊集（Fuzzy Set）

模糊化

\begin{align} X\text{ 离 }Y\text{ 很近}&\\ X\text{ 离 }3\text{ 很近}\\ \hline Y\text{ 离 }3\text{ 很近}& \end{align}

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符号学习

非经典逻辑与近似推理

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模糊推理的 CRI 方法

对于上面的问题，模糊逻辑中采用合成推理（compositional rule of inference, CRI）方法：

1. 将命题用模糊集表示（模糊化），例如 \(A,A'\in \mathfrak{F}(X)\)，\(B,B'\in\mathfrak{F}(Y)\)
2. 把蕴涵式 \(A\rightarrow B\) 转化为一个 \(X\times Y\) 上的模糊关系 \(R:X\times Y\mapsto[0,1]\)，例如 Zadeh 蕴涵算子 \[R(x,y)=A'(x)\vee (A(x)\wedge B(y))\]

3. 把给定的 \(A'(x)\)（即输入）与上一步中的模糊集做合成即得到输出 \(B'=A'\circ R\) 。Zadeh 的合成算法是：

   \begin{eqnarray*} B&=&\sup_{x\in X,y\in Y}[A'(x)\wedge R(x,y))]\\ &=&\sup_{x\in X,y\in Y}\{A'(x)\wedge[A'(x)\vee(A(x)\wedge B(y))]\} \end{eqnarray*}

模糊推理的 CRI 方法

例子：若 \(X=Y=[0,1]\)，\(A(x)=1-x\)，\(B(y)=0\)，\(A'(x)=x\)，按 Zadeh 的 CRI 方法求 \(B'\)

t-norm

在模糊推理中除了蕴涵以外，还有许多对合取（\(\wedge\)）的定义方式。它们统称为“三角范数”（triangular-norm, t-norm），是一种 \([0,1]\times[0,1]\mapsto[0,1]\) 的映射，需要满足如下条件：

1. 有界：\(T(0,0)=0, T(a,1)=T(1,a)=a\)
2. 单调：\((a\leq c \wedge b\leq d) \rightarrow T(a,b)\leq T(c,d)\)
3. 对称：\(T(a,b)=T(b,a)\)
4. 结合律：\(T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c)\)

到底什么是模糊推理？

模糊“逻辑”的问题

模糊“逻辑”的问题

定理：设 \(R(x,y)\) 关于 \(y\) 不减，\(v(A\rightarrow B)\) 由 \(R(v(A),v(B))\) 定义。如果有 \(A,B\in F(S)\) 以及 \(v\in\Sigma\) 使 \(v(A)=\frac{1}{2},v(B)=0\) ，则以下两个条件不能同时成立：

1. \(\frac{1}{2}^+\)-MP 规则与 \(\frac{1}{2}^+\)-HS 规则成立
2. 以下三条经典逻辑公理均为 \(\frac{1}{2}^+\) 重言式：
   • （L1）\(A\rightarrow(B\rightarrow A)\)
   • （L2）\((A\rightarrow(B\rightarrow C))\rightarrow((A\rightarrow B)\rightarrow(A\rightarrow C))\)
   • （L3）\((\neg B\rightarrow\neg A)\rightarrow(A\rightarrow B)\)

小结

非经典逻辑部分小结

1. 逻辑和赋值可看作泛代数之间的同态映射
2. 非经典逻辑是对布尔代数的延拓
   • 基本无法做到无损扩充
3. 模糊算子的局限